非球面的分类、数学表达式和二次曲面方程转换

    非球面是对偏离球面的曲面的总称。在光学系统中使用非球面光学元件，不仅能增加光学设计的自由度,有利于像差校正、改善像质、提高光学系统性能，而且 能够减少光学元件的数量和质量，简化仪器结构,大大减少系统的尺寸和质量,降 低成本。因此，非球面的研究与应用长期以来一直备受人们的关注。但由于加工 与检测困难,非球面的应用最初受到很大的限制。随着科学技术的迅猛发展，满足 人们特殊需要的非球面镜片的设计方法和加工手段有了长足进步，检测技术成为制约非球面加工和应用的关键技术之一。如何客观、准确地评测非球面是高精度非球面加工的基础，研究精度高、稳定实用的非球面检测技术日益成为非球面推广应用亟待解决的问题。

1. 非球面的分类

    根据表面类型，非球面通常分为旋转对称型和非旋转对称型，如下图所示。

    旋转对称型非球面，包括：二次旋转对称型非球面和高次旋转对称型非球面。前者的母线方程可以表示为椭圆线、抛物线、双曲线等，以曲线顶点为坐标原点,将其依次绕对称轴线旋转形成椭球面、抛物面、双曲面等二次曲面；后者主要是指母线沿着经过其顶点的轴线也具有对称分布特点，但是母线方程只能表示成高阶多项式的解析形式，以母线顶点为坐标原点,将其绕对称轴线旋转形成高次旋转型非球面。

    非旋转对称型非球面：一类是规则的非旋转对称型非球面，其面形有一定的规律，包括连续非球面，如两轴对称式的非球面(非球面片断，也称为离轴非球面)、复曲面、柱面和多轴对称式的非球面；以及非连续非球面，如微透镜阵列、光栅的表面、菲涅尔透镜、二元光学元件等。另一类是面形无规则的非旋转对称型非球面，这一类非球面的面形基本上没有任何限制,只能用离散数据点的形式表示，可以称为复杂的自由曲面。这类自由曲面没有确定的方程描述，是基于点集或曲线生成、由空间离散数据点通过拟合而成，无旋转轴或对称中心的复杂表面。自由曲面在光学系统中的应用越来越多。参数向量可以表示任何形状的自由曲面，包括多项式、贝塞尔曲面、B样条曲面、非均匀有理B样条曲线(NURBS)曲面等。

非球面光学零件面形分类

2. 非球面的数学表达式

对于轴对称非球面，用它的子午截线方程表示曲面方程。在实际应用中，经常用三种形式的方程式来表达。设光轴为

轴,即非球面的对称轴，坐标原点取在顶点。则：

2.1 非球面通用方程

第一种非球面子午截线方程式的表达形式为：

z^2=a1*x+a2*x^2+a3*x^4+……(式1)
式中，a1，a2，a3，a4，……为方程系数。

第二种非球面子午截线方程式的表达形式为：

z^2=A1*x^2+A2*x^4+A3*x^6+A4*x^8+……(式2)
式中，A1，A2，A3，A4，……为方程系数。第一项系数A1与非球面近轴曲率半径R0有关，A1=0.5*R0。

第三种非球面子午截线方程式的表达形式为：

 z=c*x^2/[1+√(1-(K+1)*c^2*x^2)+B1*x^4+B2*x^6+B3*x^8+……(式3)
式中，c为近轴曲率，c=1/R0；K为二次曲面常数，K=-e^2；B1，B2，B3，……为高次系数。

    在光学设计和光学加工运用中，以上三种表达形式往往互相交叉使用，它们之间存在一定的系数关系。

2.2 二次曲面方程

在实际使用中，二次曲面应用最为广泛。通常上式右边的第一项表示二次曲面。通过转换可得到二次曲面求

的另一个有用的表达式为：

 z=c*x^2/[1+√(1-(K+1)*c^2*x^2)    (式4)

或

z=[R0-√(R0^2-(K+1)*x^2)]/(K+1)      (式5)
其中，K为二次曲面常数，K=-e^2；R0为非球面近轴曲率半径。

当然也可以写为：

x^2=2*R0*z+(e^2-1)*z^2   (式6)
其中，R0为曲面近轴曲率半径，e为曲面的偏心率，K=-e^2。

当K取不同的值时，代表着不同的二次曲面，如下图所示：

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