标准差(标准偏差)σ公式

一、标准差定义：

    标准差（Standard Deviation） ，数学术语，是离均差平方的算术平均数（即：方差）的算术平方根，用σ表示。标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，在概率统计中最常使用作为统计分布程度上的测量依据。

     标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。平均数相同的两组数据，标准差未必相同。

    标准差是指波形数据和均值之间的差的平方求和，除以n，再开根号。（需要记住的是，高斯函数曲线在x±σ处有拐点，也就是拐点差值绝对值一半等于σ，即等于标准差）

二、标准差公式：

标准差公式是一种数学公式。公式如下所示：

样本标准差=方差的算术平方根=s=sqrt(((x1-x)^2 +(x2-x)^2 +......(xn-x)^2)/(n-1))

总体标准差=σ=sqrt(((x1-x)^2 +(x2-x)^2 +......(xn-x)^2)/n )

注解：上述两个标准差公式里的x为一组数（n个数据）的算术平均值。当所有数（个数为n）概率性地出现时（对应的n个概率数值和为1），则x为该组数的数学期望。

三、详解及示例：

     简单来说，标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念。一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。

     例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二个集合具有较小的标准差。

    若n个数据为总体，则求总体标准差，标准差公式根号内除以n；若n个数据为样本，则求样本标准差，标准差公式根号内除以(n-1)。

    因为我们接触的数据多为样本，所以一般情况下根号内除以(n-1)。

四、公式意义

    所有数（个数为n）记为一个数组[n]。将数组的所有数求和后除以n得到算术平均值。数组的所有数分别减去平均值，得到的n个差值分别取平方，再将得到的所有平方数求和，然后除以数的个数或个数减一若所求为总体标准差则除以n,若所求为样本标准差则除以(n-1)，最后把得到的商取算术平方根，就是取1/2次方，得到的结果就是这组数(n个数据)的标准差。

五、标准差

    由于方差是数据的平方，一般与检测值本身相差太大，人们难以直观地衡量，所以常用方差开根号（取算术平方根）换算回来。这就是我们说的标准差（SD）。

    在统计学中，样本的均差多是除以自由度n-1，它的意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。

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