艾里斑直径=两个像素尺寸，探测器截止频率公式f=1/(2*pixcel)

一、艾里斑 

需要弄清楚这个问题，首先我们得把艾里斑半径这个名词理解透彻。无论是学习还是没学习过光学设计的朋友，只要您在这个光学行业，学习过物理光学，几何光学，艾里斑这个词应该在您的字典里非常熟悉了。通俗地说，一个理想的点光源，经过我们设计的光学系统，都会成为一个光斑，光斑半径的大小与这个光学系统的F数，波长有关，F数越小，波长越短，对应的光斑半径越小。

理想点光源发出的光，在空间是均匀分布的，我们用有限口径的镜头对其成像，是获取不了这个理想点光源的全部信息的，我们受限与这个光学系统的口径（入瞳直径），这也就是常说的光学系统是一个衍射受限系统，也就是受限这个入瞳直径。点光源经过这样一个圆形入瞳的光学系统（这里分析常规镜头），发生了衍射，也即是圆孔弗朗禾费衍射，其光强分布符合一阶贝塞尔函数（此处可百度这个函数，当然也可以不用去了解，有点复杂），当

x=πDsinθ/λ

时，其曲线图和三维图如下所示：

可以看出第一个零点（偏导为0）是3.8317，即上面的公式

x=πDsinθ/λ≈3.8317

公式进行转化下，即可得到 

sinθ≈1.2197λ/D

这就是我们所说的光斑能量主要集中在这样一个角半径范围内，当角半径大于这个值，能量急剧衰减。这里其实讲解不是很严谨，因为光斑能量分布是和一阶贝塞尔函数函数成正比的，趋势如此，光斑并不是完全这样分布，可深入研究。这里不展开，把角半径转化为半径，即

sinθ≈1.2197λ/D=D/f

推导得到艾里斑半径公式

d=1.2197λf/D=1.2197λF/#≈1.22λF/#

这就是我们最熟悉的公式了。   前面阐述这么多，汇总一句话就是一个理想的点光源，经过一个理想光学系统（没有任何像差）之后，会是一个斑，这个斑的半径和光学系统的波长、F数有关。

二、艾里斑与显微分辨力关系：

以D/(2f)≈sinU代入,并考虑到物镜物空间折射率n的影响,则得

d=0.61λ/NA

(其中，D=2*NA*f，NA=n*sinα，F/#=f/D)

《艾里斑：我不是雀斑》

三、如何根据这个光斑选择探测器

首先我们说下瑞利判据。

百度百科一下，瑞利判据，来点官方说法：“瑞利判据（Rayleigh Criterion）指在成像光学系统中，分辨本领是衡量分开相邻两个物点的像的能力。由于衍射，系统所成的像不再是理想的几何点像，而是有一定大小的光斑（爱里斑），当两个物点过于靠近，其像斑重叠在一起，就可能分辨不出是两个物点的像，即光学系统中存在着一个分辨极限，这个分辨极限通常采用瑞利提出的判据：当一个爱里斑的中心与另一个爱里斑的第一级暗环重合时，刚好能分辨出是两个像。”根据这个定义，上图中间图应该算是刚刚可以分辨了。接下来我们先讲述下探测器的对于光学系统成像的影响，这里不区分CCD还是CMOS，对于光学系统来说就是阵列的像元小方块。探测器像元大小是有限的，不可能无限小，而实际的景物是连续的，那么就是用一个离散点去描述一个连续的事务，那么探测器这时候就是一个低通滤波器，在图像处理里面叫做均值滤波。如下图演示，原始图我们也离散了，夸张说，左上角四个点，每个点的光强都不一样，假如分别是1，2，3，4，但是由于像元太大，这四个点都落在了同一个像元，那么平均下可能显示的就是2.5，这样等于就把1，2，3，4这样的一个高频信息给掩盖了。

这种损失是不可避免的，只要能达到我们使用的目的，也就是分辨出我们需要的就可以，那么香农就是这方面鼻祖，他说你要看到频率为f的细节，那么你要用2f的频率来采样（频域不好理解，但是这里不说真不好说）。通俗的理解把，有个设备产生这么一个信号，第一秒为0 ，下一秒为1，再下一秒为0……，那么我们要去看是不是这样一个规律，那么我们需要0.5秒去看一次，这样才能真正描述出这个信号。对于我们镜头设计来说，都是用每毫米多少对线来描述分辨率的，如果我们镜头有30lp/mm（1mm范围内有30对黑白线对）这样的一个分辨率，那么我们需要每毫米范围内要有2X30个像元的探测器才能和它匹配，如果多余这个像素，那也是浪费了。这也就是我们计算探测器截止频率公式的由来:

f=1000/[2*pixcel(um)]

那么根据上面得出如下这样一幅图，也就是线对宽度等于艾里斑直径，等于两个像素尺寸：

那么具体计算来了，ZEMAX自带的库克三片式，焦距50mm，F数5.05，波长0.48到0.65：

用中心波长0.55计算，艾里斑半径尺寸是

d=1.2197λf/D=1.2197λF/#≈1.22λF/#=3.3886um

可以查询ZEMAX计算结果3.389um，完全一致，也就是说像元尺寸为3.389um即可。

综上所述：艾里斑直径，等于两个像素尺寸！

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