艾里斑对光学系统分辨率的限制

    在不考虑像差和色差的前提条件下，一个准单色（线宽无限窄）点光源（光源尺度无限小）经光学系统成像后还会是一个理想的点光源吗？

1、夫琅禾费衍射-艾里斑

这个可以从几何光学和波动光学两个方向去分析。在几何光学里，一个无限小的点光源经光学系统成像后仍然是一个点光源，实际上这是在理想条件下（即假定光学系统的通光孔径无限大）；在波动光学中，光的波动性表明光波在经过有限孔径大小障碍物时会发生衍射现象，根据夫琅禾费圆孔衍射的定义，一个无限小点光源在经过有限光学系统成像时会产生衍射现象，在像平面将呈现出一个弥散光斑，其光强分布具有圆对称性，由中心向外形成明暗交替的同心圆环，圆环包含0级主极大，1级极小，1级次极大......，且主极大和各次极大圆环中心光强以及各极小点的具体坐标都可以量化并计算出来。对弥散光斑，我们重点讨论其几何中心的亮斑，这个中心亮斑我们称作艾里斑，为什么要单独研究艾里斑呢？因为艾里斑中心亮斑的光能量占到总能量的83.78%，研究艾里斑对光学系统的分辨率研究十分关键。

图1 艾里斑的形成

对一个无像差、色差的光学系统而言，我们假定系统通光孔径无限大，那么该系统的分辨本领便是无限的，即物经过光学系统成像后仍能得到一个和物清晰度和细节信息完全一致的像。然而事实并非如此，实际上，物在共轭像平面上的像其实是由无数多个弥散光斑（夫琅禾费衍射图样）组成的，所以得到的像是模糊的（非理想像）；且由于弥散光斑有一定的大小，两个相距较近的弥散光斑（对应的两个物点相距比较近）可能会在像平面上发生重叠（假定物、像尺寸大小一致，即像没被放大或缩小），当重叠到一定程度时，原本物上两个相距较近但可分辨的两个物点在像平面上将不可分辨，即像不仅会变得模糊而且细节信息会丢失。

图2 实际光学系统成像示意图（图中像平面仅画出主极大衍射图样）

2、瑞利判据

既然任何光学系统的分辨本领都不是无限的，所成的像都是非理想像，那么怎么定义光学系统固有的分辨率呢？即在物距、像距、照射波长、孔径光阑、光学系统固定的条件下，物上最小相近多近的点在像上恰好可以被分辨。最简单的，我们可以寻找物上相距较近的两个物点，其经光学系统成像后，在像面将产生两个艾里斑。瑞利判据说当一个物点所产生的衍射图样的主极大中心与另一个物点的衍射图样的1级极小点位置重合时，所对应的两像点或两物点恰好可被分辨，此时两像点或物点的（角）间距称为光学系统的分辨极限。值得注意的是，瑞利判据下对应的最小分辨角就等于单点夫琅禾费衍射艾里斑的角半径。

图3 瑞利判据示意图

3、光学仪器的分辨本领

光学仪器的最小角分辨角为θ≈1.22 λ/D，这里定义分辨本领（分辨率）L=1/θ=D/1.22λ，分辨本领可从像空间最小分辨角、物空间最小分辨角、像空间线分辨极限、物空间线分辨极限等参数进行考虑。常见的光学仪器或系统包括：人眼、照相机、望远镜、显微镜等。

3.1 人眼分辨本领：L≈D/1.22λ

人眼各参数:正常照明下人眼瞳孔直径D=3mm；人眼敏感波段λ0==550nm；空气折射率n0=1；人眼折射率n=1.34；人眼焦距f=2.2cm。计算人眼角、线分辨极限：

物空间角分辨极限:θ1≈1.22λ/D =1.22*550*10-9/0.003=2.24*10-4rad=0.77′

像空间角分辨极限:θ2≈1.22λ0/n*D= 1.22*550*10-9/0.003*1.34=1.67*10-4rad=0.57′

视网膜上线分辨极限:L2=θ2*f= 1.67*10-4rad*0.022=3.68*10-3mm

明视距离处线分辨极限: L1=θ1*0.25

=5.5*10-2mm

夜间观察前方驶来的小轿车，我们会发现，当车在远处我们只能看到一盏车灯，但等车到了近处时我们便会看到两盏车灯。原因就是远处两盏车灯与人眼光学中心的夹角已经超过了0.77′，即超出了人眼物空间角分辨极限，所以人眼分辨不了，看起来就像是一盏灯。

图4 人眼分辨本领

3.2 照相机分辨本领：L≈D/1.22λ

显然想要提高单反相机的分辨本领，就必须增加物镜的相对孔径，这样不但更容易实现虚化效果，而且最主要可以提高相机的分辨本领，使得拍摄画质细腻清晰，这就是为什么专业摄影师都喜欢“长枪短炮”。智能手机虽然CMOS像素很高，但是镜头通光孔径小，这就导致了物方的一个极小物点在传感器上所成的弥散光斑像的大小都已经超过了手机CMOS单个像素单元的大小，这就是为什么手机像素高于单反，反而成像质量不如单反的部分原因。

图5 照相机大孔径镜头

3.3 望远镜分辨本领：L≈D/1.22λ

想要提高望远镜的分辨本领，使得远处相距较近的两个物点也可以被观察的很清楚，这就可以增加物镜的通光孔径。

图6 超大孔径光学望远镜

3.4 显微镜分辨本领：L= nsinu/0.61λ

想要提高显微镜的放大本领，物镜的曲率半径必须很小，所以其通光孔径D就较小，此时想要提高显微镜的分辨本领就只能在波长和折射率方面做出改变。

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