光学系统中球差和像差的区别

首先回答问题，像差是包括球差的。 这里所说的球差，通常情况下指的是3阶球差。3阶像差一共有5个，分别是球差(Spherical)、彗差(Coma)、像散(又称散光，Astigmatism)、场曲(Field Curvature)、畸变(Distortion)。

我尝试一下用最通俗易懂的语言，尽量少的数学表达，简单讲讲像差。毕竟不学这方面的也不需要像差的数学表达。

像差指的是成像系统的真实成像与理想成像的差别。在几何光学的定义中，理想成像指的是从物体上同一点发出的任意光线，都会汇聚在像上对应的同一点（物体底端发出的所有光线会汇聚在像的底端，物体中点发出的所有光线会汇聚在像的中点，以此类推…），是一种完美的、理想的成像。由理想成像所引出的是一个很重要的概念，就是“近轴光学”，或者叫“傍轴光学”。近轴光学是指光线非常靠近光轴的情况。近轴光学条件下的成像就是理想成像。我们会把没有任何像差的像面（像所在的那个一个平面）叫作近轴像面。

在现实世界中没有什么东西是完美的，任何成像系统所成的像都会和理想的像有一些差别。成像系统因为自身的形状、结构、材质等原因本身会造成一些像差以外，你是天文爱好者的话也知道在地面用望远镜观测宇宙的时候，大气波动也会产生像差，干扰最终的成像质量。不过在光学设计的范畴下，我们通常只讨论成像系统本身的像差。

像差可以从两个角度去讨论，分别是波前（Wavefront）和光线两个角度。波前这个概念有点抽象，可以试着理解一下：在几何光学中的描述中，波前是与同一点内发出的所有光线所正交的面，且完美成像（没有任何像差）的波前是一个圆。这符合物理光学的描述，因为点光源所发出来的就是球面波，在2D视图下，球面波就是一个圆：

刚刚说了，完美成像的特征是点对点对应，即物体上一个点发出的所有光线，都会汇聚在像上对应的同一点。所以理想情况下，波前就是一个又一个的圆。但是真实情况的波前是有很多瑕疵的，不能和理想波前重合：

虽然真实波前是一种“坑坑洼洼”的状态，但是它仍然遵循光线要垂直于波前的定义。所以很容易就能看出来，真实的不同角度的光线会因为波前的“坑坑洼洼”，从而汇聚在不同的地方，而不是一个点。这也是从光线角度看的像差。

既然真实波前不能和理想波前完美重合，那我们就可以将两者的差用数学表达出来。我们定义波前像差函数为两者之间的光程差(Optical Path Difference)，所以在像空间两个波前的差就可以表达成W(h,ρ,ϕ)/n'，W(h,ρ,ϕ)就是我们想要的能表达理想和真实波前差距的函数，也就是能直接表达像差的函数，它是一个关于h,ρ,ϕ的函数，它们分别是归一化后的物高、光线在光瞳的径向长度、光线在光瞳的角度：

为什么这个函数是在光瞳上的呢？这涉及到傅立叶光学的内容，这里就不赘述了。接下来这个函数里面都有什么呢？经过一系列复杂的真实光线追迹之后，发现这个函数是一个多项式，这个函数的三个基本变量是ρ^2,hρcosϕ,h^2。那么该函数的通项公式可写成

W(h,ρ,ϕ)=ΣWijk*h^i*ρ^j*cos^kϕ。其中Wijk是不同项的系数。为了满足旋转对称的条件，n=+j必须是非负偶数。

那我们展开这个多项式，就展开到n=4吧：

相信我，这里是这个回答唯一的数学表达。这个多项式是可以一直展开到更高阶的，但是通常镜头设计师更多地关注2和4阶（或1和3阶）的像差，偶尔关注6阶（或称5阶）。除非要设计的系统成像质量极高，否则基本不关注更高阶的像差。

上面提到了，理想成像的特点是物体同一点发出的无数光线会汇聚在像上对应的同一点。那么在近轴像面上，如果有光线没有落在它应该落在的点上，那么这就是光线角度上的像差。从这个角度讨论像差会比从波前的角度更容易理解，毕竟这些光线就是“没瞄准”嘛。

从光线角度来说，这些光线虽然从物体上同一点出发，但是并不能都汇聚到像上对应的点。在镜头设计中，一个比较常用的用来分析像差的图是点列图（Spot Diagram）：

库克三片式镜头的点列图：如果是完美成像且不考虑色差和衍射极限的前提下，不同的field(0°、14°、20°)应该只能看到一个点。

图中红绿蓝三种颜色所代表的是三种不同波长的光线在像面上的落点；上中下代表的是物体上三个不同的点发出来的光。首先能看到的是，不同的颜色落点不一样。这就是上面没有提到的色差，主要是由透镜材料的缺陷（色散：材料折射率随着波长变化而变化）导致的。其次，可以看到0°的光线最终落点还是比较集中的，没有很分散；但是到了14°和20°的时候，就已经非常分散了。理想成像且不考虑衍射极限的前提下，上中下三组图所有颜色的点应该都在同一处。

我再说一说你提到的球差吧。球差产生的原因并不是你说说的远光轴折射率大。因为在不使用梯度透镜（Gradient-index lens）的情况下，折射率是不随着光线高度改变的。球差的本质因为是不同角度或高度的光线所“感受”到的成像系统的焦距是不同的，所以导致了不同的光线汇聚在不同的地方。所以你会看到，很多展现球差的图中，越高的光线，汇聚得越提前：

这就是球面的固有性质，几何学中应该提到过。

最后给你看一些，最开头提到的三阶像差如果单独存在（它们并不能单独存在，所以只是像差模拟）是什么样子的吧：

1、原图：

2、球差：

3、彗差：

4、佩慈伐场曲：

5、像散：

6、畸变：

由上可见，畸变是唯一一个不会降低图像分辨率的三阶像差。其它像差糊的方式和程度均有不同。球差就像是近视眼一样（造成的效果确实和近视眼对应的那个像差相同），是一种很均匀的糊。

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