星等的概念及在光学系统中的应用

在设计光学系统时，常常涉及到与目标特性的指标，有时星等（Magnitude）也是一个至关重要的指标，尤其是在天文光学仪器和星敏感器中，极限星等决定了我们设计的系统能观测到多么微弱的天体光源。然而，星等的概念并不仅仅是简单的亮度表达，背后还有许多物理含义。本文将尝试从光学系统设计的角度，用最简单的方式介绍星等的概念及其在光学系统中的应用。

一、基本概念

星等是用来描述天体亮度的一个相对量度，最早由古希腊天文学家希帕克斯引入，他将夜空中可见的星星分为六等，最亮的为一等星，最暗的为六等星。现代天文学中，星等系统被进一步精确化，形成了现在的对数关系。这个对数关系定义了两个天体亮度的比值与它们星等差异之间的关系。

我们通常使用星等（Magnitude）来表示从地球上观测到的天体亮度。视星等数值越小，天体看起来越亮。对于光学系统的设计者而言，视星等是一个非常关键的参数，它直接影响到系统的光收集能力、探测灵敏度以及成像效果。

星等的定义公式如下：

m1-m2=-2.5log10(I1/I2)

其中，m1和m2分别是两颗天体的星等，而同时I1和I2则是它们的亮度。这个公式表明，星等差值为1的天体亮度差是约2.5倍。

在讨论极限星等时，了解常见天体的星等值对设计光学系统尤为重要。星等是描述天体亮度的一个量化指标，它分为视星等和绝对星等。视星等（Apparent Magnitude）表示从地球上观测到的天体亮度，而绝对星等（Absolute Magnitude）则是天体位于标准距离时的亮度。

1. 太阳与行星

太阳：视星等约为 -26.7，是天空中最亮的天体。

金星：在最亮时的视星等约为 -4.7。

木星：在最亮时的视星等约为 -2.9。

火星：在最接近地球时的视星等约为 -2.9。

土星：视星等约为 -0.5。

2. 恒星

天狼星（大犬座α星）：视星等为 -1.46，是夜空中最亮的恒星。

南门二（半人马座α星）：视星等为 -0.27，是距离地球最近的恒星系统之一。

织女星（天琴座α星）：视星等为 0.03，是北半球夏季夜空中最亮的星星之一。

大角星（牧夫座α星）：视星等为 -0.05，是北半球春季夜空中最亮的星之一。

3. 深空天体

银河中心：视星等约为 +4.6，但由于尘埃云的遮挡，实际观测到的亮度较低。

猎户座大星云（M42）：视星等约为 +4.0，是肉眼可见的明亮星云之一。

仙女座星系（M31）：视星等约为 +3.4，是肉眼可见的最远天体。

半人马座A星系：视星等约为 +7.9，是距离地球较近的活跃星系。

4. 其他天体

哈雷彗星：在近地点时的视星等可达 +1.0。

国际空间站：视星等约为 -6.0，取决于它的过顶高度和太阳的位置。

这些星等值不仅在天文观测中有参考价值，在光学系统设计中也至关重要。设计者需要根据目标天体的星等，选择合适的望远镜口径、工作方式和探测器等，以确保能够捕捉到足够的光子并产生清晰的图像。

二、光学系统设计中的星等

在设计光学系统时，星等直接关系到系统的探测器的灵敏度。假设我们设计一个望远镜用于观测远距离的微弱天体，系统必须具有足够大的口径来收集足够的光子，以在探测器上产生可识别的信号。

首先，我们需要考虑望远镜的极限星等（Limiting Magnitude），这是指望远镜能够检测到的最暗天体的星等。极限星等由以下因素决定：

1、光学系统口径：对于一个点目标来说，口径越大，单位时间内可以收集到1的光子数量越多，极限星等越高。

2、大气透过率：大气层对不同波长的光具有不同的透过率，这会影响最终到达望远镜的光子数。同样的，大气湍流等因素对于极限星等也有影响，工作在大气层之外的相机则不需要考虑这些。

3、探测器参数：探测器越灵敏，可以检测到更微弱的信号，从而提高极限星等。为了抑制暗电流等噪声，提高信噪比，有时候对可见光波段的探测器也要进行制冷

4、曝光时间：对天文感兴趣的读者肯定知道，很多时候虽然我们肉眼无法看到银河，但只要拉长曝光时间，相机还是可以拍到的，下面就是我自己前几年在太白山顶拍摄的照片，焦距为24mm，光圈为4，曝光时间30秒（尼康Z卡口的大变焦镜头）。

在设计中，光学系统的极限星等通常会用来评估系统性能，并在实际观测中决定观测对象和曝光时间。如果望远镜的极限星等不足，则可能无法观测到预期的天体，因此需要在总体设计阶段就根据任务目标进行充分的论证。

需要辨析的是，星等与MTF在光学系统设计中都是至关重要的参数，但它们关注的方面不同。MTF衡量的是系统成像质量，特别是图像细节的保真度；而星等则衡量系统的光收集能力和观测微弱天体的能力。两者相辅相成，共同决定了光学系统的整体性能。举例来说，如果一个望远镜具有较高的MTF曲线，意味着它可以很好地保留天体的细节。然而，如果望远镜的极限星等较低，它可能无法检测到较暗的天体，即使成像质量再好，也没有足够的光子来形成清晰的图像。

三、光学系统设计中的实际应用

考虑到实际应用，设计者需要在望远镜的口径、焦距和探测器之间进行权衡。例如，在天文摄影中，长曝光可以提高极限星等，但会增加噪声，从而影响MTF。因此，设计者必须综合考虑这些因素，确保系统能够在保持高成像质量的同时，检测到尽可能暗的天体。

在天基光电望远镜中，总的噪声以目标辐射光

子噪声、背景辐射光子噪声和暗电流噪声为主，

其余分量由于其很小而不考虑。在无光照条件下，背景噪声可以忽略，极限星等公式可以简化为[1]：

为进一步探讨这一点，我们可以编写一个简单的 MATLAB 程序来计算相机的极限星等，并分析不同积分时间对极限星等的影响。这个程序通过考虑光学系统的口径、波长、光学透过率等因素，计算出在不同曝光时间下相机能够检测到的最暗天体的星等。

我们先定义一些常数，假定一个星点像覆盖2×2个像素，光学系统最大口径为200mm，光学系统透过率0.7，最长曝光时间为1秒，认为可以探测到目标的最低信噪比为6，根据探测器产品手册可以查到电荷转移效率和暗电流大小。绘制出随着积分时间增加，极限星等变化曲线如下：

此时在积分时间尚且比较小的时候，极限星等约为13，随着曝光时间增加，最终大约可以达到15.4，虽然在天基的情况下很难增加单次曝光时间，但如果我们可以像在地面一样，把曝光时间延长到30秒，极限星等曲线如下：

曲线整体随着曝光时间增加，极限星等进一步增加，当曝光时间达到一定程度，极限星等呈现出近似线性的变化趋势。如果我们还是以1秒为积分时间上限，光学系统口径增加十倍，到两米，极限星等如下：

四、总结

理解星等在光学系统设计中的作用，有助于设计者在设计过程中做出更科学合理的决策。例如，通过计算系统的极限星等，可以确定其在特定条件下能够观测到的最暗天体，这对确定设备的观测能力至关重要。以上的 公式提供了一种简便的方法来估算极限星等，并通过调整参数帮助设计者优化系统。

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