波前像差与Zernike多项式

一、什么是像差

理想的成像状态是从物点发出的所有光线经过光学系统后形成一个共轭焦点。实际的光学系统不可能理想成像，即成像无法实现绝对的清晰和没有变形。这种光学系统的实际成像与理想成像之间的差异称为像差。

人眼光学系统也存在缺陷，形成眼球像差影响人眼视觉质量。

有像差的人眼对于点状物体不能理想成像

图源：《波前像差与临床视觉矫正》

人眼像差波前像差来源

角膜和晶状体表面不理想，其表面曲率存在局部偏差；

角膜与晶状体以及玻璃体不同轴；

角膜和晶状体以及玻璃体的内含物不均匀，以致折射率有局部偏差；

人眼屈光系统对各种色光的折射率不同，不可避免地出现色差。

二、常见像差介绍

1、球差

由于透镜球面上中央（近轴）与边缘（远轴）的屈光能力不同。使得光线不能汇聚到像方的同一点上，而形成弥散斑。

图源：《波前像差与临床视觉矫正》

2、彗差

光轴外的某一点向透镜发出一束平行光线，经过光学系统后，在像面上形成不对称彗星形的弥散光斑。

图源：《波前像差与临床视觉矫正》

三、什么是波前像差？

从物理光学角度，可以将像差定义为波阵面像差，也称波前像差。

波前像差是实际光学系统产生的实际波阵面和理想光学系统产生的理想波阵面之间存在的偏差，它是衡量光学系统成像的重要指标之一。

图源：《Aberration theory》

    几何像差直观易算，能够用数值来描述一点成像时的几何光线的密集程度，从而评估像质的优劣。但光线本身是一抽象的近似概念，用密集程度来评价，往往与实际不符，因此必须考虑像差的最佳校正方案，并根据光学系统的要求和使用状况给出合理像差。而这些像质评价问题常须基于光的波动本质才能解决。

     几何光学中的光学相当于波阵面的法线，因此，物点发出的同心光束与球面波对应。如果光学系统是理想的，经过光学系统后会形成一个新的球面波，而实际上往往或多或少变了形不是理想球面波。实际波面和理想球面波的偏差就是波像差（wave aberration），即实际波面和理想波面之间的光程差。

     波像差是各种几何像差的综合表现，加工、装配等带来的误差（比如倾斜、变形）也会在波像差当中体现出来。因此为改进设计、提高装配精度提供依据，将波像差表示成由离焦、倾斜和各种像差迭加而成的函数形式。在波面检测中，常常根据波面干涉图及其移动情况分解出波像差一般表达式中的各项，这种情况大多采用泽尼克圆多项式（Zernike polynomial）表示波像差，其中各项都有明确的物理意义，易于从中分离出各种像差。

    波像差和几何像差之间有着较为方便和直接的联系，因此，以最大波像差为评价依据的瑞利判据是一种方便而实用的相质评价方法，利用它可由波像差的允许值得到几何像差的容限。但它只是适用于评价望远镜和显微物镜等小像差系统（视场很小而孔径较大的体统，须校正好球差、色差和近轴慧差，使最大波像差不大于1/4波长，符合瑞利判据的要求）

     当然，现代光学设计已经从像差的优化转换为主要评价系统的综合像质，不必拘泥于几何像差的具体数值。但不代表只采用综合性评价指标就可以了，在采用波像差计算的传递函数时，需要对于畸变要特别注意。

     光学设计是一项非常个性化的工作，同样的指标每个人都有设计出不同的光学系统，设计者需要有很好的像差理论功底。一方面对像差理论的应用极大影响设计进程和设计结果，对加工等也带来方便，另一方面是像投影光刻这样的极高精度光学系统甚至直接对波像差的Zernike多项式各项系数提出具体指标。

1、波像差的定义：

百度百科：

a)波像差:物点发出的波面经实际光学系统后，实际波面与理想波面在出瞳处相切时，两波面的光程差，即为波像差。

性质：波像差为孔径的函数、几何像差大时，波像差也大、对轴上像点，单色波像差由球差决定、波像差小，像质好

b)波前像差:波前像差即是由实际波前和理想的无偏差状态的波前之间的偏差来定义。

    光线是一个行进的电磁波，波前是光波的连续性的同相表面， 因此，波前是一个面而不是一条线。在没有像差时，进入人眼的波前可以很好的在视网膜上会聚成一个焦点，波前像差即是由实际波前和理想的无偏差状态的波前之间的偏差来定义。 人眼存在的像差有低阶像差和高阶像差。低阶像差包括近视、远视、散光；高阶像差包括球差、彗差、不规则散光等。

    如图示，从物点发出的波面经理想光学系统后，其出射波面应该是球面。但由于实际光学系统存在像差，实际波面与理想波面就有了偏差。

    当实际波面与理想波面在出瞳处相切时，两波面间的光程差就是波像差，通常以W表示。

波像差定义图示

     波像差也是孔径的函数，几何像差越大时，其波像差也越大。波像差越小，系统的成像质量越好，瑞利判断认为，当光学系统的最大波像差小于1/4波长时，成像质量好；最大波像差小于1/10波长时，成像是完善的。

    波像差是倾斜、离焦、球差、彗差、像散等几何像差都影响波像差，它们之间具有很强的相关性。

四、波前像差描述方式——Zernike多项式

常用的描述像差的方法是Zernike多项式及波前像差图。

1、Zernike多项式

Zernike多项式为一正交于单位圆上的一组函数，通过Zernike多项式，眼光学系统像差可以量化。

Zernike多项式可以把波前像差分解为多阶成分。常用的 Zernike多项式为7阶35项。0~2阶为低阶像差，可以用球柱镜矫正；3阶及以上为高阶像差，无法用球柱镜矫正。

0阶：各方向均匀、平整的波阵面，即无像差；

1阶：沿着x轴和y轴倾斜；

2阶： Z2^0球性离焦（近视、远视），Z2^-2散光（45/135°轴向），Z2^2散光（90/180°轴向）；

3阶：类彗差，Z3^-1垂直彗差，Z3^1水平彗差，Z3^-3 Z3^3三叶草差；

4阶：类球差，Z4^0球差，Z4^-2 Z4^-2二级散光，Z4^-4 Z4^4四叶草；

5阶及以上：更复杂的波阵面像差，只有瞳孔非常大时才显露出。

Zernike多项式也可以直观表示成以n为行数，m为列数的金字塔

2、波前像差图

在临床上，为了更直观地表达，用伪彩色将波前像差表达出来。可表示为二位平面图和三维立体图。通过冷暖不同色调表示像差的大小和方向 ，暖色为正，冷色为负。

图源：《波前像差与临床视觉矫正》

五、相关文献：

《波前与波像差》

《波前像差（波阵面像差）的基本知识》

作者QQ及微信：49922779