泽尼克圆多项式分解波像差(Zernike polynomial)

Zernike polynomial

一、Zernike多项式优点

泽尼克(Zernike)多项式在光学领域中应用广泛。这主要是由于它有以下三个重要属性：

1、 描述圆孔径（光学系统的镜片或者光瞳多是圆的）

2、 和赛德尔像差有天然的对应性（反正都是极坐标描述圆孔径，这种对应性是天然的）

3、 正交性（任意两项系数正交，所以在使用泽尼克系数分解某一个圆孔径上的分布时，方法简便、数值方法稳定）

二、多种Zernike多项式

泽尼克多项式的表达式不是唯一的，广泛流行的至少有2套不同的泽尼克，分别是：

- Fringe Zernike 条纹泽尼克

- Standard Zernike 标准泽尼克

前者Fringe Zernike是亚利桑那大学James Wyant大佬推广使用的，也称为Zernike多项式的Arizona notation。目前在干涉仪等工业测量设备中占绝对主导（比如Zygo干涉仪），默认是它就对了。

后者Standard Zernike是Zemax公司试图推广的，细心观察可以发现和Fringe Zernike在多项式的排列顺序和每个多项式前面的系数是不一样的。Standard Zernike的好处是每一项Zernike的RMS值在单位圆上被归一化了，这样比如1个单位的Z7和1个单位的Z13就有更好的可比性。

总的来说两套主流Zernike多项式是很接近的，可以写个小脚本进行转化。要对比确认两套Zernike系数最易获取且明晰直白的资源我认为是Zemax软件，在波前的Zernike分解的功能下，它支持2种表达式，且很贴心地把各自前37项的具体表达式罗列出来了.

ZEMAX/Analyze/Wavefront/Zernike Fringe Coeffictients

Zernike多项式还有诸多的变种，比如在椭圆上的Zernike，在圆环上的Zernike（对应上图Zemax里的Zernike Annular Coefficients）等。

三、Zernike与Seidel的转化与误区

首先由于都是描述极坐标下的圆，Zernike与Seidel系数天然对应是显然的。

我们经常看到文献中把Z1到Z9用初阶像差的名称命名，如Coma，Astigmatism等，但这是不严格且具有误导性的。

我们来看Z7和Z8，它在Zernike系数中被叫做Coma，但是对应Seidel像差，显然它是Coma和Tilt的耦合。所以我的建议是，Z7、Z8就是Z7、Z8，把它们和Seidel像差下的Coma分分开，不要在名字上带入这种混淆。

四、Zernike多项式的限制

Zernike对于光学中的连续较平坦分布（比如描述波前）在多数场景下非常有效，但它不是万能的。

对于以下这几种场景Zernike的拟合度非常差：

- 高频误差

- 单点金刚石的环状车刀纹

- 带有一个或多个偏心的高峰

对于非圆形孔径而言，Zernike要强行拟合也是可以的，可以在非圆形孔径外套一个外接圆，但这个时候的拟合效率就不是最佳了。如果孔径直接是矩形，那么请了解一下切比雪夫Chebyshev多项式。

另外还要注意的是，Zernike是在单位圆上正交，出了单位圆，它还是可以被有效定义的，但就不正交了。所以，如果在光学软件中使用Zernike面型，要把Normalization Radius设置到和光学孔径一样大（或者略大一丢丢），可不能小了。

在波面检测中，常根据波面相干图及其移动情况分解出波像差的一般表达式

中的各项，这种情况大多采用泽尼克圆多项式（Zernike polynomial）表示波像差。

泽尼克多项式之所以适合用来描述光学系统的波像差，是因为其有如下优点：

1、 泽尼克多项式各项之间是线性无关的，在单位圆上正交，非常适合具有圆形

通光孔径的光学系统。

2、 泽尼克多项式具有旋转对称性，多项式的数学形式不会因为旋转改变。

3、 泽尼克多项式与像差有一定的对应关系，其中各项均具有明确的物理意义，易于分离出各种像差。

4、 各项系数可以通过干涉法直接测得，所以可以很方便的应用。

将波像差按极坐标定义归一化坐标ρ和θ之后使用泽尼克多项式展开，其表

达式为

以下是泽尼克多项式的前9 项及物理意义：

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